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复合函数（复合函数怎么求）

　　

今天给各位分享复合函数的复合复合知识，其中也会对复合函数怎么求进行解释，函数函数如果能碰巧解决你现在面临的复合复合问题，别忘了关注本站，函数函数现在开始吧！复合复合

复合函数是什么意思

要理解复合函数，先要知道基本初等函数的复合复合概念：

一般来讲，基本初等函数归为以下五类：

幂函数：f(x)=xᵃ(a为有理数);

指数函数：f(x)=aˣ(a0且a≠1);

对数函数：f(x)=logₐ(x)(a0且a≠1);

三角函数：f(x)=sin(x)、函数函数f(x)=cos(x)...

反三角函数：f(x)=arcsin(x)、复合复合f(x)=arccos(x)...

复合函数通俗地说就是函数函数函数套函数，是复合复合把上述几种基本初等函数的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中含有两个及以上的函数函数函数，如y=sin(u)，复合复合u=2ᵛ，函数函数v=x²，复合复合则函数y=sin[2^(x²)]就是y关于x的复合函数，其中x是自变量，u、v都是中间变量，y是应变量。

不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数，复合的过程中要掌握一个原则：内层函数的值域要在其外层函数的定义域内，由内到外，逐层满足，如y=log₂[1-cos(x)]没问题，但y=log₂[cos(x)-2]就不行，显然没有任何x能使y有意义，故求复合函数的定义域时，要综合考虑各部分的x的取值范围，最后取他们的交集，还是以y=log₂[1-cos(x)]为例：内层cos(x)：定义域x∈R；外层log₂[u]:u0→1-cos(x)0→函数的定义域x≠2kπ。

复合函数的性质：

周期性：复合函数的最小正周期为内外层函数最小正周期的最小公倍数，如tan[sin(x)]的最小正周期为2π

单调（增减）性

依内外层的单调性来决定：即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为口诀“同增异减”。如y=ln(x²):

外层为增函数，内层x0时为减函数，x0时为增函数，故复合后：

x0时，内外层增减性相异→复合后为减函数；

x0时，内外层增减性相同→复合后为增函数；

什么是复合函数

定义

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为

y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

编辑本段

生成条件

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。

编辑本段

定义域

若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的定义域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是

复合函数的导数D={ x|x∈A,且g(x)∈B}

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周期性

设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）

编辑本段

增减性

复合函数单调性依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”

判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；

(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；

(3)判断每个常见函数的单调性；

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

(5)求出复合函数的单调性。

例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数解：函数定义域为R。

令u=x^2-4x+3，y=0.8^u。

指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数，

u=x^2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

利用复合函数求参数取值范围

求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须

将已知的所有条件加以转化。

什么是复合函数，举个简单的例子

复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{ φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。

1、复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。

法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；

法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；

2、应用举例求：函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。

解：设u=g(x)=3x+2

f(u)=u3+3

f'(u)=3u2=3(3x+2)2

g'(x)=3

f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2

扩展资料

复合函数的推广

可以推广到任意二元关系。若 R ⊆ X × Y 与 S ⊆ Y × Z 是两个二元关系，则它们的复合 S∘R 是定义为 { (x, z) ∈ X × Z : ∃y ∈ Y. (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}。 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。

偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。

具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。[16] 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 (f ∘ g)−1 = (g−1 ∘ f −1) 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。

参考资料来源：百度百科-复合函数

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